Question

9．已知数列{a_n}，a_n+1=a_n+2，a₁=1，数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为S_n，则使一切S_n＜$\frac{m}{16}$成立的m的最小正整数是8．

Answer 1

分析 由题意求出数列{a_n}的通项公式，代入数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}，由错位相减法求其前n项和为S_n，得到S_n$＜\frac{1}{2}$，再由$\frac{1}{2}≤\frac{m}{16}$求得使一切S_n＜$\frac{m}{16}$成立的m的最小正整数．

解答 解：由a_n+1=a_n+2，且a₁=1，知数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
则a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
则${S}_{n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．
令f（n）=$\frac{n}{2n+1}$，则$f（n）=\frac{1}{2+\frac{1}{n}}＜\frac{1}{2}$，
由S_n＜$\frac{m}{16}$，得$\frac{1}{2}≤\frac{m}{16}$，即m≥8．
∴使一切S_n＜$\frac{m}{16}$成立的m的最小正整数是8．
故答案为：8．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，考查了数列的函数特性，是中档题．