Question

9．如图，已知AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，AB=AC=3，BC=2$\sqrt{5}$，AA₁=$\sqrt{7}$，BB₁=2$\sqrt{7}$，点E和F分别为BC和A₁C的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面A₁B₁BA；
（Ⅱ）求证：平面AEA₁⊥平面BCB₁；
（Ⅲ）求直线A₁B₁与平面BCB₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接A₁B，易证EF∥A₁B，由线面平行的判定定理可得；
（Ⅱ）易证AE⊥BC，BB₁⊥AE，可证AE⊥平面BCB₁，进而可得面面垂直；
（Ⅲ）取BB₁中点M和B₁C中点N，连接A₁M，A₁N，NE，易证∠A₁B₁N即为直线A₁B₁与平面BCB₁所成角，解三角形可得．

解答 （Ⅰ）证明：连接A₁B，在△A₁BC中，
∵E和F分别是BC和A₁C的中点，∴EF∥A₁B，
又∵A₁B?平面A₁B₁BA，EF?平面A₁B₁BA，
∴EF∥平面A₁B₁BA；
（Ⅱ）证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，
∵AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，∴BB₁⊥平面ABC，
∴BB₁⊥AE，又∵BC∩BB₁=B，∴AE⊥平面BCB₁，
又∵AE?平面AEA₁，∴平面AEA₁⊥平面BCB₁；
（Ⅲ）取BB₁中点M和B₁C中点N，连接A₁M，A₁N，NE，
∵N和E分别为B₁C和BC的中点，∴NE平行且等于$\frac{1}{2}$B₁B，
∴NE平行且等于A₁A，∴四边形A₁AEN是平行四边形，
∴A₁N平行且等于AE，
又∵AE⊥平面BCB₁，∴A₁N⊥平面BCB₁，
∴∠A₁B₁N即为直线A₁B₁与平面BCB₁所成角，
在△ABC中，可得AE=2，∴A₁N=AE=2，
∵BM∥AA₁，BM=AA₁，∴A₁M∥AB且A₁M=AB，
又由AB⊥BB₁，∴A₁M⊥BB₁，
在RT△A₁MB₁中，A₁B₁=$\sqrt{{B}_{1}{M}^{2}+{A}_{1}{M}^{2}}$=4，
在RT△A₁NB₁中，sin∠A₁B₁N=$\frac{{A}_{1}N}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A₁B₁N=30°，即直线A₁B₁与平面BCB₁所成角的大小为30°

点评 本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题．