Question

10．我们把焦距和短轴相等的椭圆称为“等轴椭圆”．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，一“等轴椭圆”与该双曲线有相同的焦点，且双曲线的渐近线与椭圆相交于第一象限内的一点M，若直线F₁M的斜率为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{22}}{14}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{22}}{14}$或$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0），且m²-n²=n²，求出双曲线的渐近线方程，代入椭圆方程，求得交点M，再由直线的斜率公式，计算可得a，b的关系，再由双曲线的离心率公式即可得到．

解答 解：设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0），
且m²-n²=n²，
双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
且a²+b²=n²，
将y=$\frac{b}{a}$x代入椭圆方程，可得M（$\frac{\sqrt{2}na}{\sqrt{{a}^{2}+2{b}^{2}}}$，$\frac{\sqrt{2}nb}{\sqrt{{a}^{2}+2{b}^{2}}}$），
又F₁（-n，0），
再由直线F₁M的斜率为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即有$\frac{\frac{\sqrt{2}nb}{\sqrt{{a}^{2}+2{b}^{2}}}}{\frac{\sqrt{2}na}{\sqrt{{a}^{2}+2{b}^{2}}}+n}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即为a²-8$\sqrt{2}$ab+14b²=0，
解得a=$\sqrt{2}$b或a=7$\sqrt{2}$b，
若a=$\sqrt{2}$b，则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
若a=7$\sqrt{2}$b，则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{22}}{14}$a，即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{22}}{14}$．
则有双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\frac{3\sqrt{22}}{14}$．
故选：D．

点评 本题考查新定义的理解和运用，主要考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，属于中档题．