Question

10．设x，y∈R，满足$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{5}+2x+sin（x-1）=3}\\{（y-1）^{5}+2y+sin（y-1）=1}\end{array}\right.$，则x+y=（　　）

• A． 0
• B． 2
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 根据条件，构造函数f（t）=t⁵+2t+sint，利用函数f（t）的奇偶性和单调性解方程即可．

解答 解：∵（x-1）⁵+2x+sin（x-1）=3，
∴（x-1）⁵+2（x-1）+sin（x-1）=3-2=1，
∵（y-1）⁵+2y+sin（y-1）=1，
∴（y-1）³+2（y-1）+sin（y-1）=1-2=-1，
设f（t）=t⁵+2t+sint，
则f（t）为奇函数，且f'（t）=5t⁴+2+cost＞0，
即函数f（t）单调递增．
由题意可知f（x-1）=1，f（y-1）=-1，
即f（x-1）+f（y-1）=1-1=0，
即f（x-1）=-f（y-1）=f（1-y），
∵函数f（t）单调递增
∴x-1=1-y，
即x+y=2，
故选B．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．