Question

5．设a₁，a₂，…，a_n∈R，n≥3．若p：a₁，a₂，…，a_n成等比数列；q：（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）（a₂²+a₃²+…+a_n²）=（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）²，则（　　）

• A． p是q的充分条件，但不是q的必要条件
• B． p是q的必要条件，但不是q的充分条件
• C． p是q的充分必要条件
• D． p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

Answer 1

分析 运用柯西不等式，可得：（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）（a₂²+a₃²+…+a_n²）≥（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）²，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．

解答 解：由a₁，a₂，…，a_n∈R，n≥3．
运用柯西不等式，可得：
（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）（a₂²+a₃²+…+a_n²）≥（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）²，
若a₁，a₂，…，a_n成等比数列，即有$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=…=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，
则（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）（a₂²+a₃²+…+a_n²）=（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）²，
即由p推得q，
但由q推不到p，比如a₁=a₂=a₃=…=a_n=0，则a₁，a₂，…，a_n不成等比数列．
故p是q的充分不必要条件．
故选：A．

点评 本题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键．