Question

13．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x+6，x≤2\\ 3+{log_a}x，x＞2\end{array}$（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是（1，2]．

Answer 1

分析 当x≤2时，满足f（x）≥4．当x＞2时，由f（x）=3+log_ax≥4，即log_ax≥1，故有log_a2≥1，由此求得a的范围，综合可得结论．

解答 解：由于函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x+6，x≤2\\ 3+{log_a}x，x＞2\end{array}$（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），
故当x≤2时，满足f（x）=6-x≥4．
当x＞2时，由f（x）=3+log_ax≥4，∴log_ax≥1，∴log_a2≥1，∴1＜a≤2．
综上可得，1＜a≤2，
故答案为：（1，2]．

点评 本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．