Question

8．已知$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}，|{\overrightarrow{AB}}|=\frac{1}{t}，|{\overrightarrow{AC}}|=t$，若P点是△ABC所在平面内一点，且$\overrightarrow{AP}=\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}+\frac{{4\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}$，则$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$的最大值等于（　　）

• A． 13
• B． 15
• C． 19
• D． 21

Answer 1

分析 建系，由向量式的几何意义易得P的坐标，可化$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=-4（$\frac{1}{t}$-4）-（t-1）=17-（4•$\frac{1}{t}$+t），由基本不等式可得．

解答 解：由题意建立如图所示的坐标系，
可得A（0，0），B（$\frac{1}{t}$，0），C（0，t），
∵$\overrightarrow{AP}=\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}+\frac{{4\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}$，∴P（1，4），
∴$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{1}{t}$-1，-4），$\overrightarrow{PC}$=（-1，t-4），
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=-4（$\frac{1}{t}$-4）-（t-1）=17-（4t+$\frac{1}{t}$），
由基本不等式可得$\frac{1}{t}$+4t≥2$\sqrt{\frac{1}{t}•4t}$=4，
∴17-（4t+$\frac{1}{t}$）≤17-4=13，
当且仅当4t=$\frac{1}{t}$即t=$\frac{1}{2}$时取等号，
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$的最大值为13，
故选：A．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题．