Question

16．已知点F为抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|=3，
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）已知点G（-1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

Answer 1

分析 解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|=2+$\frac{p}{2}$=3，解得p．即可得出抛物线E的方程．
（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A$（2，2\sqrt{2}）$，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x²-5x+2=0，解得B$（\frac{1}{2}，-\sqrt{2}）$．又G（-1，0），计算k_GA，k_GB，可得k_GA+k_GB=0，∠AGF=∠BGF，即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
解法二：（I）同解法一．
（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A$（2，2\sqrt{2}）$，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x²-5x+2=0，解得B$（\frac{1}{2}，-\sqrt{2}）$．又G（-1，0），可得直线GA，GB的方程，利用点到直线的距离公式可得：点F（1，0）到直线GA、GB的距离，若相等即可证明此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

解答 解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|=2+$\frac{p}{2}$=3，解得p=2．
∴抛物线E的方程为y²=4x；
（II）证明：∵点A（2，m）在抛物线E上，
∴m²=4×2，解得m=$±2\sqrt{2}$，不妨取A$（2，2\sqrt{2}）$，F（1，0），
∴直线AF的方程：y=2$\sqrt{2}$（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{2}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为2x²-5x+2=0，解得x=2或$\frac{1}{2}$，B$（\frac{1}{2}，-\sqrt{2}）$．
又G（-1，0），∴k_GA=$\frac{2\sqrt{2}-0}{2-（-1）}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$．k_GB=$\frac{-\sqrt{2}-0}{\frac{1}{2}-（-1）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴k_GA+k_GB=0，
∴∠AGF=∠BGF，∴x轴平分∠AGB，
因此点F到直线GA，GB的距离相等，
∴以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
解法二：（I）同解法一．
（II）证明：点A（2，m）在抛物线E上，∴m²=4×2，解得m=$±2\sqrt{2}$，不妨取A$（2，2\sqrt{2}）$，F（1，0），
∴直线AF的方程：y=2$\sqrt{2}$（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{2}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为2x²-5x+2=0，解得x=2或$\frac{1}{2}$，B$（\frac{1}{2}，-\sqrt{2}）$．
又G（-1，0），可得直线GA，GB的方程分别为：$2\sqrt{2}$x-3y+2$\sqrt{2}$=0，$2\sqrt{2}x+3y+2\sqrt{2}$=0，
点F（1，0）到直线GA的距离d=$\frac{|2\sqrt{2}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$，
同理可得点F（1，0）到直线GB的距离=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$．
因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

点评 本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．