Question

6．已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=2，b₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N^*），b₁+$\frac{1}{2}$b₂+$\frac{1}{3}$b₃+…+$\frac{1}{n}$b_n=b_n+1-1（n∈N^*）
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）记数列{a_nb_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由a₁=2，a_n+1=2a_n，可得数列{a_n}为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式；
再由b₁=1，b₁+$\frac{1}{2}$b₂+$\frac{1}{3}$b₃+…+$\frac{1}{n}$b_n=b_n+1-1，取n=1求得b₂=2，当n≥2时，得另一递推式，作差得到$\frac{1}{n}{b}_{n}={b}_{n+1}-{b}_{n}$，整理得数列{$\frac{{b}_{n}}{n}$}为常数列，由此可得{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求出${a}_{n}{b}_{n}=n•{2}^{n}$，然后利用错位相减法求数列{a_nb_n}的前n项和为T_n．

解答 解：（Ⅰ）由a₁=2，a_n+1=2a_n，得${a}_{n}={2}^{n}（n∈{N}^{*}）$．
由题意知，当n=1时，b₁=b₂-1，故b₂=2，
当n≥2时，b₁+$\frac{1}{2}$b₂+$\frac{1}{3}$b₃+…+$\frac{1}{n-1}{b}_{n-1}$=b_n-1，和原递推式作差得，
$\frac{1}{n}{b}_{n}={b}_{n+1}-{b}_{n}$，整理得：$\frac{{b}_{n+1}}{n+1}=\frac{{b}_{n}}{n}$，
∴${b}_{n}=n（n∈{N}^{*}）$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${a}_{n}{b}_{n}=n•{2}^{n}$，
因此${T}_{n}=2+2•{2}^{2}+3•{2}^{3}+…+n•{2}^{n}$
$2{T}_{n}={2}^{2}+2•{2}^{3}+3•{2}^{4}+…+n•{2}^{n+1}$，
两式作差得：$-{T}_{n}=2+{2}^{2}+…+{2}^{n}-n•{2}^{n+1}=\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n+1}$，
${T}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2$（n∈N^*）．

点评 本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题．