Question

6．已知函数f（x）=x²+$\frac{a}{x}$（x≠0，a∈R）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）当a=1时，若存在x₁∈[1，+∞）和任意的x₂∈[1，+∞）使得f（x₁）＜log₂（x₂+m）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，根据函数的奇偶性的定义即可得到结论；
（2）设g（x）=log₂（x+m），由题意f（x）_min＜g（x）_min，分别根据函数的单调性求出两个函数的最小值，问题得以解决．

解答 解：（1）∵f（x）=x²+$\frac{a}{x}$，
∴f（-x）=x²-$\frac{a}{x}$，
当a=0时，f（-x）=x²=f（x）为偶函数，
当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数，
（2）当a=1时，f（x）=x²+$\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞）
∴f′（x）=2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0在[1，+∞）恒成立，
∴f（x）_min=f（1）=1，
设g（x）=log₂（x+m），
∵g（x）在[1，+∞）单调递增，
∴g（x）_min=g（1）=log₂（1+m），
∵存在x₁∈[1，+∞）和任意的x₂∈[1，+∞）使得f（x₁）＜log₂（x₂+m）成立，
∴f（x）_min＜g（x）_min，
∴1＜log₂（1+m），
解得m＞1，
故实数m的取值范围为（1，+∞）

点评 本题考查了函数奇偶性和参数的取值范围，关键根据函数的单调性求出函数最值，属于中档题．