Question

3．定义在[t，+∞）上的函数f（x）、g（x）单调递增，f（t）=g（t）=M，若对任意k＞M存在x₁＜x₂，使得f（x₁）=g（x₂）=k成立，则称g（x）是f（x）在[t，+∞）上的“追逐函数”，已知f（x）=x²，给出下列四个函数：
①g（x）=x；
②g（x）=lnx+1；
③g（x）=2^x-1；
④g（x）=2-$\frac{1}{x}$；
其中f（x）在[1，+∞）上的“追逐函数”有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 求出M=1，解方程求得x₁，x₂，运用函数的单调性和特殊值法，判断是否存在x₁＜x₂，即可得到结论．

解答 解：对于①，可得f（1）=g（1）=1=M，
?k＞1，有x₁²=x₂=k，即为x₁=$\sqrt{k}$，x₂=k，
$\sqrt{k}$＜k显然成立，存在x₁＜x₂；
对于②，易得M=1，?k＞1，有x₁²=1+lnx₂=k，
即为x₁=$\sqrt{k}$，x₂=e^k-1，
即有$\sqrt{k}$＜e^k-1?k＜e^2k-2，
由x＞1时，x-e^2x-2的导数为1-2e^2x-2＜0，
即有x＜e^2x-2，则存在x₁＜x₂；
对于③，易得M=1，?k＞1，有x₁²=${2}^{{x}_{2}}$-1=k，
即为x₁=$\sqrt{k}$，x₂=log₂（k+1），
当k=100时，$\sqrt{k}$＞log₂（k+1），
即不存在x₁＜x₂．
对于④，易得M=1，?k＞1，有x₁²=2-$\frac{1}{{x}_{2}}$=k，
即为x₁=$\sqrt{k}$，x₂=$\frac{1}{2-k}$，
当k=4，不存在x₁＜x₂．
故f（x）在[1，+∞）上的“追逐函数”有①②
故选B．

点评 本题考查新定义的理解和运用，主要考查函数的单调性的运用，以及特殊值的运用，考查判断能力，属于中档题和易错题．