Question

8．如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（　　）

• A． $\sqrt{13}$
• B． $\sqrt{7}$
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

解答 解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π，
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π=3α，
解得：α=$\frac{2π}{3}$，
∴∠AOA′=$\frac{2π}{3}$，
则∠1=$\frac{π}{3}$，
过C作CF⊥OA，
∵C为OB的三等分点，BO=3，
∴OC=1，
∵∠1=60°，
∴∠OCF=30°，
∴FO=$\frac{1}{2}$，
∴CF²=CO²-OF²=$\frac{3}{4}$，
∵AO=3，FO=$\frac{1}{2}$，
∴AF=$\frac{5}{2}$，
在Rt△AFC中，利用勾股定理得：AC²=AF²+FC²=7，
则AC=$\sqrt{7}$．
故选：B．

点评 考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．