Question

20．已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|．
（1）求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）＞a²-x²+2x在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式f（x）≥3的解集；
（2）分类讨论，去掉绝对值，利用不等式f（x）＞a²-x²+2x在R上恒成立，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）x＜-1时，不等式可化为1-x-x-1≥3，∴x≤-$\frac{3}{2}$，∴x≤-$\frac{3}{2}$；
-1≤x≤1时，不等式可化为1-x+x+1≥3，不成立；
x＞1时，不等式可化为x-1+x+1≥3，∴x≥$\frac{3}{2}$，∴x≥$\frac{3}{2}$，
∴不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤-$\frac{3}{2}$或x≥$\frac{3}{2}$}；
（2）x＜-1时，不等式f（x）＞a²-x²+2x可化为a²＜（x-2）²-4，∴a²＜5，∴-$\sqrt{5}$＜a＜$\sqrt{5}$；
-1≤x≤1时，不等式f（x）＞a²-x²+2x可化为a²＜（x-1）²+1，∴a²＜1，∴-1＜a＜1；
x＞1时，不等式f（x）＞a²-x²+2x可化为a²＜x²，∴a²＜1，∴-1＜a＜1，
∴-$\sqrt{5}$＜a＜$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．