Question

5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a（4-2$\sqrt{7}$cosB）=b（2$\sqrt{7}$cosA-5），则cosC的最小值为-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 第一步：将原式变形，利用余弦定理，将角化为边；
第二步：用a，b表示c；
第三步：写出cosC的表达式，并用a，b表示；
第四步：利用基本不等式放缩，即可获取定值．

解答 解：a（4-2$\sqrt{7}$cosB）=b（2$\sqrt{7}$cosA-5）⇒4a+5b=2$\sqrt{7}$（bcosA+acosB），
由余弦定理，得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
∴4a+5b=2$\sqrt{7}$（b•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$）=2$\sqrt{7}$c，
即4a+5b=2$\sqrt{7}$c，得c²=$\frac{（4a+5b）^{2}}{28}$，
从而cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{12{a}^{2}+3{b}^{2}-40ab}{56ab}$≥$\frac{2\sqrt{12{a}^{2}•3{b}^{2}}-40ab}{56ab}=-\frac{1}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了余弦定理在解三角形中的运用，涉及最值问题，应善于利用基本不等式进行处理．