Question

15．已知数列{a_n}的各项均为正数，b_n=n（1+$\frac{1}{n}$）ⁿa_n（n∈N₊），e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）=1+x-e^x的单调区间，并比较（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ与e的大小；
（2）计算$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$，$\frac{{b}_{1}{b}_{2}}{{a}_{1}{a}_{2}}$，$\frac{{b}_{1}{{b}_{2}b}_{3}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$，由此推测计算$\frac{{b}_{1}{b}_{2}…{b}_{n}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$的公式，并给出证明；
（3）令c_n=（a₁a₂…a_n）${\;}^{\frac{1}{n}}$，数列{a_n}，{c_n}的前n项和分别记为S_n，T_n，证明：T_n＜eS_n．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的定义域，利用导数求其最大值，得到1+x＜e^x．取x=$\frac{1}{n}$即可得到答案；
（2）由b_n=n（1+$\frac{1}{n}$）ⁿa_n（n∈N₊），变形求得$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$，$\frac{{b}_{1}{b}_{2}}{{a}_{1}{a}_{2}}$，$\frac{{b}_{1}{{b}_{2}b}_{3}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}$，由此推测$\frac{{b}_{1}{b}_{2}…{b}_{n}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$=（n+1）ⁿ．然后利用数学归纳法证明．
（3）由c_n的定义、$\frac{{b}_{1}{b}_{2}…{b}_{n}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$=（n+1）ⁿ、算术-几何平均不等式、b_n的定义及$（1+\frac{1}{n}）^{n}＜e$，利用放缩法证得T_n＜eS_n．

解答 （1）解：f（x）的定义域为（-∞，+∞），f′（x）=1-e^x．
当f′（x）＞0，即x＜0时，f（x）单调递增；
当f′（x）＜0，即x＞0时，f（x）单调递减．
故f（x）的单调递增区间为（-∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．
当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即1+x＜e^x．
令$x=\frac{1}{n}$，得$1+\frac{1}{n}＜{e}^{\frac{1}{n}}$，即$（1+\frac{1}{n}）^{n}＜e$．①
（2）解：$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}=1•（1+\frac{1}{1}）^{1}=1+1=2$；$\frac{{b}_{1}{b}_{2}}{{a}_{1}{a}_{2}}=\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}•\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$=$2•2（1+\frac{1}{2}）^{2}=（2+1）^{2}={3}^{2}$；
$\frac{{b}_{1}{b}_{2}{b}_{3}}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}}=\frac{{b}_{1}{b}_{2}}{{a}_{1}{a}_{2}}•\frac{{b}_{3}}{{a}_{3}}={3}^{2}•3（1+\frac{1}{3}）^{3}=（3+1）^{3}={4}^{3}$．
由此推测：$\frac{{b}_{1}{b}_{2}…{b}_{n}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$=（n+1）ⁿ．②
下面用数学归纳法证明②．
（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立．
（2）假设当n=k时，②成立，即$\frac{{b}_{1}{b}_{2}…{b}_{k}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k}}=（k+1）^{k}$．
当n=k+1时，${b}_{k+1}=（k+1）（1+\frac{1}{k+1}）^{k+1}{a}_{k+1}$，由归纳假设可得
$\frac{{b}_{1}{b}_{2}…{b}_{k}{b}_{k+1}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k}{a}_{k+1}}=\frac{{b}_{1}{b}_{2}…{b}_{k}}{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{k}}•\frac{{b}_{k+1}}{{a}_{k+1}}$=$（k+1）^{k}（k+1）（1+\frac{1}{k+1}）^{k+1}=（k+2）^{k+1}$．
∴当n=k+1时，②也成立．
根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．
（3）证明：由c_n的定义，②，算术-几何平均不等式，b_n的定义及①得
T_n=c₁+c₂+…+c_n=$（{a}_{1}）^{\frac{1}{1}}+（{a}_{1}{a}_{2}）^{\frac{1}{2}}+（{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}）^{\frac{1}{3}}+…+（{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}）^{\frac{1}{n}}$
=$\frac{（{b}_{1}）^{\frac{1}{1}}}{2}+\frac{（{b}_{1}{b}_{2}）^{\frac{1}{2}}}{3}+\frac{（{b}_{1}{b}_{2}{b}_{3}）^{\frac{1}{3}}}{4}+…+$$\frac{（{b}_{1}{b}_{2}…{b}_{n}）^{\frac{1}{n}}}{n+1}$
$≤\frac{{b}_{1}}{1×2}+\frac{{b}_{1}+{b}_{2}}{2×3}+\frac{{b}_{1}+{b}_{2}+{b}_{3}}{3×4}+…+\frac{{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}}{n（n+1）}$
=${b}_{1}[\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{n（n+1）}]$$+{b}_{2}[\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}]$$+…+{b}_{n}•\frac{1}{n（n+1）}$
=${b}_{1}（1-\frac{1}{n+1}）+{b}_{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}）+…+{b}_{n}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
$＜\frac{{b}_{1}}{1}+\frac{{b}_{2}}{2}+…+\frac{{b}_{n}}{n}$=$（1+\frac{1}{1}）^{1}{a}_{1}+（1+\frac{1}{2}）^{2}{a}_{2}+…+（1+\frac{1}{n}）^{n}{a}_{n}$
＜ea₁+ea₂+…+ea_n=eS_n．
即T_n＜eS_n．

点评 本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．