Question

19．已知函数f（x）=lnx-$\frac{（x-1）^{2}}{2}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x-1；
（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x₀＞1，当x∈（1，x₀）时，恒有f（x）＞k（x-1）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，利用导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-（x-1），证明F（x）在[1，+∞）上单调递减，可得结论；
（Ⅲ）分类讨论，令G（x）=f（x）-k（x-1）（x＞0），利用函数的单调性，可得实数k的所有可能取值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-$\frac{（x-1）^{2}}{2}$，
∴f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+x+1}{x}$＞0（x＞0），
∴0＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴函数f（x）的单调增区间是（0，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-（x-1），则F′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{x}$
当x＞1时，F′（x）＜0，
∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴x＞1时，F（x）＜F（1）=0，
即当x＞1时，f（x）＜x-1；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，k=1时，不存在x₀＞1满足题意；
当k＞1时，对于x＞1，有f（x）＜x-1＜k（x-1），则f（x）＜k（x-1），
从而不存在x₀＞1满足题意；
当k＜1时，令G（x）=f（x）-k（x-1）（x＞0），则
G′（x）=$\frac{-{x}^{2}+（1-k）x+1}{x}$=0，可得x₁=$\frac{1-k-\sqrt{（1-k）^{2}+4}}{2}$＜0，x₂=$\frac{1-k+\sqrt{（1-k）^{2}+4}}{2}$＞1，
当x∈（1，x₂）时，G′（x）＞0，故G（x）在（1，x₂）上单调递增，
从而x∈（1，x₂）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x-1），
综上，k的取值范围为（-∞，1）．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．