Question

7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A₁A=4，A₁在底面ABC的射影为BC的中点，D是B₁C₁的中点．
（Ⅰ）证明：A₁D⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求直线A₁B和平面BB₁C₁C所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）连接AO，A₁D，根据几何体的性质得出A₁O⊥A₁D，A₁D⊥BC，利用直线平面的垂直定理判断．
（II）利用空间向量的垂直得出平面BB₁C₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{7}$，0，1），|根据与$\overrightarrow{B{A}_{1}}$数量积求解余弦值，即可得出直线A₁B和平面BB₁C₁C所成的角的正弦值．

解答 证明：（I）∵AB=AC=2，D是B₁C₁的中点．
∴A₁D⊥B₁C₁，
∵BC∥B₁C₁，
∴A₁D⊥BC，
∵A₁O⊥面ABC，A₁D∥AO，
∴A₁O⊥AO，A₁O⊥BC
∵BC∩AO=O，A₁O⊥A₁D，A₁D⊥BC
∴A₁D⊥平面A₁BC

解：（II）
建立坐标系如图
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A₁A=4
∴O（0，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），B₁（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{14}$），A₁（0，0，$\sqrt{14}$）
即$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{14}$），$\overrightarrow{OB}$=（0，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（$-\sqrt{2}$，0，$\sqrt{14}$），
设平面BB₁C₁C的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$即得出$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{-\sqrt{2}x+\sqrt{14}z=0}\end{array}\right.$
得出$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{7}$，0，1），|$\overrightarrow{B{A}_{1}}$|=4，|$\overrightarrow{n}$|=$2\sqrt{2}$
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{A}_{1}}$=$\sqrt{14}$，
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{B{A}_{1}}$＞=$\frac{\sqrt{14}}{4×2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{8}$，
可得出直线A₁B和平面BB₁C₁C所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{7}}{8}$

点评 本题考查了空间几何体的性质，直线平面的垂直问题，空间向量的运用，空间想象能力，计算能力，属于中档题．