Question

3．已知点A（1，2）在抛物线C：y²=4x上，过点A作两条直线分别交抛物线于点D，E，直线AD，AE的斜率分别为k_AD，K_AE．若直线DE过点（-1，-2），则k_AD•k_AE=（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 通过利用过F点直线DE与抛物线C方程，利用韦达定理计算即可．

解答 解：设F（-1，-2），过F点直线DE方程为：y+2=k（x+1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y+2=k（x+1）}\end{array}\right.$，消去x、整理得：ky²-4y+4k-8=0，
由题意及韦达定理可得：y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=$\frac{4k-8}{k}$，
∴x₁+x₂=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+4-2k}{k}$=$\frac{4+4k-2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{（{y}_{1}+2-k）（{y}_{2}+2-k）}{{k}^{2}}$=$\frac{4-4k+{k}^{2}}{{k}^{2}}$，
∴k_AD•k_AE=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}$•$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-1}$
=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$
=$\frac{\frac{4k-8}{k}-2•\frac{4}{k}+4}{\frac{4-4k+{k}^{2}}{{k}^{2}}-\frac{4+4k-2{k}^{2}}{{k}^{2}}+1}$
=2，
故选：C．

点评 本题是一道直线与抛物线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．