Question

11．抛物线y²=4x，直线l经过该抛物线的焦点F与抛物线交于A、B两点（A点在第一象限），且$\overrightarrow{BA}$=4$\overrightarrow{BF}$，则三角形AOB（O为坐标原点）的面积为（　　）

• A． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点，设直线l为x=my+1，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点为（1，0），
设直线l为x=my+1，代入抛物线方程可得，
y²-4my-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
由$\overrightarrow{BA}$=4$\overrightarrow{BF}$，可得y₁=-3y₂，
由代入法，可得m²=$\frac{1}{3}$，
又△AOB的面积为S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{16{m}^{2}+16}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故选C．

点评 本题考查直线和抛物线的位置关系，主要考查韦达定理和向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．