Question

11．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ-3cosθ）=0，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t-\frac{1}{t}}\\{y=t+\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（ t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|=$2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 化极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案．

解答 解：由ρ（sinθ-3cosθ）=0，得y-3x=0，
由C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t-\frac{1}{t}}\\{y=t+\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（ t为参数），两式平方作差得：x²-y²=-4．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=-4}\end{array}\right.$，得${x}^{2}=\frac{1}{2}$，即$x=±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴A（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{3\sqrt{2}}{2}$），B（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{3\sqrt{2}}{2}$），
∴|AB|=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}=2\sqrt{5}$．
故答案为：$2\sqrt{5}$．

点评 本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，是基础的计算题．