Question

6．已知符号函数sgnx=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{x＞0}\\{0，}&{x=0}\\{-1，}&{x＜0}\end{array}\right.$，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）-f（ax）（a＞1），则（　　）

• A． sgn[g（x）]=sgnx
• B． sgn[g（x）]=-sgnx
• C． sgn[g（x）]=sgn[f（x）]
• D． sgn[g（x）]=-sgn[f（x）]

Answer 1

分析 直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．

解答 解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{x＞0}\\{0，}&{x=0}\\{-1，}&{x＜0}\end{array}\right.$，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）-f（ax）（a＞1），
不妨令f（x）=x，a=2，
则g（x）=f（x）-f（ax）=-x，
sgn[g（x）]=-sgnx．所以A不正确，B正确，
sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；
对于D，令f（x）=x+1，a=2，
则g（x）=f（x）-f（ax）=-x，
sgn[f（x）]=sgn（x+1）=$\left\{\begin{array}{l}1，&x＞-1\\ 0，&x=-1\\-1，&x＜-1\end{array}\right.$；
sgn[g（x）]=sgn（-x）=$\left\{\begin{array}{l}1，&x＞0\\ 0，&x=0\\-1，&x＜0\end{array}\right.$，
-sgn[f（x）]=-sgn（x+1）=$\left\{\begin{array}{l}-1，&x＞-1\\ 0，&x=-1\\ 1，&x＜-1\end{array}\right.$；所以D不正确；
故选：B．

点评 本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．