Question

3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由条件bcosC=3acosB-ccosB，利用正弦定理求得cosB的值，可得sinB的值；再根据 $\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2利用两个向量的数量积的定义求得ac的值，可得△ABC的面积$\frac{1}{2}$ac•sinB 的值．

解答 解：△ABC中，∵bcosC=3acosB-ccosB，利用正弦定理可得sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，
∴sin（B+C）=3sinAcosB，即sinA=3sinAcosB，求得cosB=$\frac{1}{3}$，∴sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
再根据 $\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=2，可得c•a•cosB=2，∴ac=6，∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$ac•sinB=2$\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查正弦定理，两个向量的数量积的定义，属于基础题．