Question

15．设f′（x）为f（x）的导函数，若f′（x）存在极小值点x₀，则称x₀为f（x）的“下凸拐点”．
（1）f（x）=x³的“下凸拐点”为0；
（2）f（x）=e^x-$\frac{1}{2}a{x^3}$在区间（0，2）上存在“下凸拐点”，则a的取值范围为$（\frac{e}{3}，\frac{{e}^{2}}{3}）$．

Answer 1

分析 （1）根据求导公式分别求出f′（x）和f″（x），分别判断出f″（x）与0的关系，利用导数的正负求出函数f′（x）的极小值点；
（2）根据求导公式分别求出f′（x）和f″（x），再构造函数g（x）=e^x-3ax，求出g′（x），根据条件和极小值的条件列出不等式组，化简后求出a的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，f′（x）=（x³）′=3x²，∴f″（x）=6x，
由f″（x）=6x=0得，x=0，
∵当x＜0时，f″x）＜0，当x＞0时，f″x）＞0，
∴f′（x）存在极小值点x₀=0，
即f（x）=x³的“下凸拐点”为0；
（2）由题意得，f′（x）=${e}^{x}-\frac{3}{2}a{x}^{2}$，∴f″（x）=e^x-3ax，
设g（x）=e^x-3ax，则g′（x）=e^x-3a，
由g′（x）=e^x-3a=0得，x=ln（3a），
∵f（x）=e^x-$\frac{1}{2}a{x^3}$在区间（0，2）上存在“下凸拐点”，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜ln（3a）＜2}\\{{e}^{2}-3a＞0}\\{{e}^{0}-3a＜0}\\{{e}^{ln（3a）}-3aln（3a）＜0}\end{array}\right.$，解得$\frac{e}{3}＜a＜\frac{{e}^{2}}{3}$，
∴a的取值范围为$（\frac{e}{3}，\frac{{e}^{2}}{3}）$，
故答案为：（1）0；（2）（$\frac{e}{3}$，$\frac{e^2}{3}$）．

点评 本题考查新定义与导数结合的问题，以及导数研究函数单调性、极值等，考查转化思想、构造函数法等，综合性强、难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点、难点．