Question

18．已知两定点A（-1，0），B（1，0），若直线l上存在点M，使得|MA|+|MB|=3，则称直线l为“M型直线”，给出下列直线：①x=2；②y=x+3；③y=-2x-1；④y=1；⑤y=2x+3．其中是“M型直线”的条数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 点M的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}=1$，把①，②，③，④，⑤分别和$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}=1$联立方程组，如果方程组有解，则这条直线就是“M型直线”．

解答 解：由题意可知，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其方程是$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}=1$，
①把x=2代入$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}=1$，无解，∴x=2不是“M型直线”；
②把y=x+3代入$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}=1$，无解，∴y=x+3不是“M型直线”；
③把y=-2x-1代入$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}=1$，有解，∴y=-2x-1是“M型直线”；
④把y=1代入$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}=1$，有解，∴y=1是“M型直线”；
⑤y=2x+3代入$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{4}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}=1$，有解，∴y=2x+3是“M型直线”．
故选：C．

点评 本题是新定义题，考查了椭圆的定义及标准方程，考查了数学转化思想方法及方程思想方法，解答此题的关键是把问题转化为判断直线方程与椭圆方程联立的方程组是否有解，属中档题．