Question

1．（1）已知直线l的斜率k=1-m²（m∈R），求直线l的倾斜角的取值范围；
（2）已知数列{a_n}满足 a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N⁺），求其通项公式．

Answer 1

分析 （1）由题意可得tanθ=1-m²≤1，再由0≤θ＜π 可得倾斜角θ的取值范围；
（2）根据数列递推式，确定{a_n+1}是以3为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列的通项公式．

解答 解：（1）直线l的斜率k=1-m²（m∈R），故tanθ=1-m²≤1，
再由0≤θ＜π 可得0≤θ≤$\frac{π}{4}$，或π＞θ＞$\frac{π}{2}$，故倾斜角θ的取值范围为[0，$\frac{π}{4}$]∪（$\frac{π}{2}$，π）．
（2）∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=2，∴a₁+1=3，
∴{a_n+1}是以3为首项，2为公比的等比数列
∴a_n+1=3•2^n-1，
∴a_n=3•2^n-1-1．

点评 本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，考查数列递推式，考查构造法证明等比数列，考查数列的通项，解题的关键是构造法证明等比数列．