Question

9．对于任意实数t，不等式mt²+$\sqrt{xy+yz}$t+x²+2y²+3z²≥0恒成立，其中x、y、z∈（0，+∞），则实数m的取值范围是（$\frac{\sqrt{6}}{24}$，+∞）．

Answer 1

分析 先根据关于t的函数，利用判别式，再分离参数，利用基本不等式即可求出答案．

解答 解：∵不等式mt²+$\sqrt{xy+yz}$t+x²+2y²+3z²≥0恒成立，
∴△≤0，
即（xy+yz）-4m（x²+2y²+3z²）≤0，
∴m≥$\frac{1}{4}$•$\frac{xy+yz}{{x}^{2}+2{y}^{2}+3{z}^{2}}$恒成立，
∵x²+2y²+3z²=（x²+$\frac{3}{2}$y²）+（$\frac{1}{2}$y²+3z²）≥2$\sqrt{\frac{3}{2}}$（xy+yz）=$\sqrt{6}$（xy+yz），
∴$\frac{xy+yz}{{x}^{2}+2{y}^{2}+3{z}^{2}}$≤$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴m≥$\frac{\sqrt{6}}{24}$，
故答案为：（$\frac{\sqrt{6}}{24}$，+∞）

点评 本题考查了恒成立的问题，关键是分离参数，构造基本不等式，属于中档题．