Question

16．已知（x²+$\frac{2}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式的二项式系数之和为32，则其展开式中常数项为80．

Answer 1

分析 由二项式系数的性质求得n，写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r，则展开式中常数项可求．

解答 解：由题意知，2ⁿ=32，即n=5．
∴（x²+$\frac{2}{\sqrt{x}}$）ⁿ=（x²+$\frac{2}{\sqrt{x}}$）⁵，
由${T}_{r+1}={C}_{5}^{r}（{x}^{2}）^{5-r}（\frac{2}{\sqrt{x}}）^{r}$=${2}^{r}{C}_{5}^{r}{x}^{10-\frac{5r}{2}}$．
令10-$\frac{5r}{2}=0$，得r=4．
∴展开式中常数项为${T}_{5}={2}^{4}×{C}_{5}^{4}=80$．
故答案为：80．

点评 本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．