Question

13．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为$\frac{π}{3}$，求$\frac{DC}{BC}$的值．

Answer 1

分析 解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角．
（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可．
解法2）
（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可．
2）由PD⊥底面ABCD，所以$\overrightarrow{DP}$=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以$\overrightarrow{BP}$=（-λ，-1，1）是平面DEF的一个法向量．根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．

解答 解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD．而DE?平面PDC，所以BC⊥DE．
又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．
而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，所以PB⊥DE．
又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．
（2）如图1，

在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．
由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．
又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．
所以DG⊥DF，DG⊥DB
故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，
设PD=DC=1，BC=λ，有BD=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$，
在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB=$\frac{π}{3}$，
则 tan$\frac{π}{3}$=tan∠DPF=$\frac{DB}{PD}$=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$=$\sqrt{3}$，解得$λ=\sqrt{2}$．
所以$\frac{DC}{CB}$=$\frac{1}{λ}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为$\frac{π}{3}$时，$\frac{DC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（解法2）
（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，
则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），$\overrightarrow{PB}$=（λ1，-1），点E是PC的中点，所以E（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DE}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
于是$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{DE}$=0，即PB⊥DE．
又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．
因$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{DE}$$•\overrightarrow{PC}$=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．
（2）由PD⊥底面ABCD，所以$\overrightarrow{DP}$=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；
由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以$\overrightarrow{BP}$=（-λ，-1，1）是平面DEF的一个法向量．
若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为$\frac{π}{3}$，
则运用向量的数量积求解得出cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{\sqrt{{λ}^{2}+2}}$=$\frac{1}{2}$，
解得$λ=\sqrt{2}$．所以所以$\frac{DC}{CB}$=$\frac{1}{λ}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为$\frac{π}{3}$时，$\frac{DC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．