Question

10．已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，{b_n}是等差数列，且a₁=b₁=1，b₂+b₃=2a₃，a₅-3b₂=7．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_nb_n，n∈N^*，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出数列{a_n}的公比和数列{b_n}的公差，由题意列出关于q，d的方程组，求解方程组得到q，d的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；
（Ⅱ）由题意得到${c}_{n}=（2n-1）•{2}^{n-1}$，然后利用错位相减法求得数列{c_n}的前n项和．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，数列{b_n}的公差为d，由题意，q＞0，
由已知有$\left\{\begin{array}{l}{2{q}^{2}-3d=2}\\{{q}^{4}-3d=10}\end{array}\right.$，消去d整理得：q⁴-2q²-8=0．
∵q＞0，解得q=2，∴d=2，
∴数列{a_n}的通项公式为${a}_{n}={2}^{n-1}$，n∈N^*；
数列{b_n}的通项公式为b_n=2n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有${c}_{n}=（2n-1）•{2}^{n-1}$，
设{c_n}的前n项和为S_n，则
${S}_{n}=1×{2}^{0}+3×{2}^{1}+5×{2}^{2}+…+（2n-3）×{2}^{n-2}+（2n-1）×{2}^{n-1}$，
$2{S}_{n}=1×{2}^{1}+3×{2}^{2}+5×{2}^{3}+…+（2n-3）×{2}^{n-1}+（2n-1）×{2}^{n}$，
两式作差得：$-{S}_{n}=1+{2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{n}-（2n-1）×{2}^{n}$=2ⁿ⁺¹-3-（2n-1）×2ⁿ=-（2n-3）×2ⁿ-3．
∴${S}_{n}=（2n-3）•{2}^{n}+3，n∈{N}^{*}$．

点评 本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题．