Question

19．已知等差数列{a_n}为递增数列，且P（a₂，14），Q（a₄，14）都在y=x+$\frac{45}{x}$的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式和前n项和为S_n；
（2）设b_n=$\frac{（-1）^{n}{a}_{n}}{n（n+1）}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知列式求出a₂，a₄，再由等差数列的通项公式求得公差，进一步求得首项，代入通项公式和前n项和得答案；
（2）把等差数列的通项公式代入b_n=$\frac{（-1）^{n}{a}_{n}}{n（n+1）}$，然后分n为奇数和偶数利用裂项相消法求{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}+\frac{45}{{a}_{2}}=14}\\{{a}_{4}+\frac{45}{{a}_{4}}=14}\end{array}\right.$，又数列{a_n}为递增数列，解得a₂=5，a₄=9．
∴等差数列{a_n}的公差d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{2}}{4-2}=\frac{9-5}{2}=2$．
∴a₁=5-2=3．
则a_n=3+（n-1）×2=2n+1，
${S}_{n}=3n+\frac{n（n-1）}{2}×2={n}^{2}+2n$；
（2）b_n=$\frac{（-1）^{n}{a}_{n}}{n（n+1）}$=$\frac{（-1）^{n}（2n+1）}{n（n+1）}=（-1）^{n}（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$．
当n为奇数时，${T}_{n}=-（1+\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）-（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）+…-（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$=$-1-\frac{1}{n+1}=-\frac{n+2}{n+1}$；
当n为偶数时，${T}_{n}=-（1+\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）-（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$=$-1+\frac{1}{n+1}=-\frac{n}{n+1}$．
∴${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{n+2}{n+1}，n为奇数}\\{-\frac{n}{n+1}，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列的函数特性，考查了等差关系的确定，考查等差数列的通项公式和前n项和，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．