Question

6．已知△ABC满足|AB|=3，|AC|=4，O是△ABC的外心，且$\overrightarrow{AO}$=λ$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1-λ}{2}$$\overrightarrow{AC}$（λ∈R），则△ABC的面积是$2\sqrt{5}$或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 设AC的中点为D，根据条件和O是△ABC的外心，利用两个向量的加减法的法则及其几何意义，求出$\overrightarrow{BO}=（1-λ）\overrightarrow{BD}$，可得BD⊥AC和B、O、D三点共线，在直角三角形中求出
sin∠BAC，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积；当λ=0时，AB⊥BC，由三角形是直角三角形和勾股定理，求出△ABC的面积．

解答 解：如图：O是△ABC的外心，设AC的中点为D，
∵$\overrightarrow{AO}=λ\overrightarrow{AB}+\frac{1-λ}{2}\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}$=$（λ-1）\overrightarrow{AB}+\frac{1-λ}{2}\overrightarrow{AC}$=$（λ-1）\overrightarrow{AB}+\frac{1-λ}{2}（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}）$=$\frac{1-λ}{2}（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}）$，
则$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{BD}$，
∴$\overrightarrow{BO}=（1-λ）\overrightarrow{BD}$，即B、O、D三点共线．
∵O是△ABC的外心，∴OD⊥AC，则BD⊥AC，∴sin∠BAC=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{9-4}}{3}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×|AB|×|AC|×sin∠BAC$=$2\sqrt{5}$；
当λ=0时，此时$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，即AB⊥BC，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×|AB|×|BC|$=$\frac{1}{2}×3×\sqrt{16-9}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，
综上可得，△ABC的面积是$2\sqrt{5}$或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$
故答案为：$2\sqrt{5}$或$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查向量的基本定理和运算法则、两个向量的加减法的法则及其几何意义，三角形的外心定理、直角三角形的边角关系，以及三角形的面积公式，属于难题．