Question

4．设数列{a_n}：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…，$\stackrel{k个}{\overbrace{（-1）^{k-1}k，…，（-1）^{k-1}k}}$，…，即当$\frac{（k-1）k}{2}$＜n≤$\frac{k（k+1）}{2}$（k∈N^*）时，${a}_{n}={（-1）}^{k-1}k$．记S_n=a₁+a₂+…+a_n（n∈N^?）．对于l∈N^?，定义集合P_l=﹛n|S_n为a_n的整数倍，n∈N^?，且1≤n≤l}
（1）求P₁₁中元素个数；
（2）求集合P₂₀₀₀中元素个数．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}的定义，可得前11项，进而得到前11项和，再由定义集合P_l，即可得到元素个数；
（2）运用数学归纳法证明S_i（2i+1）=-i（2i+1）（i∈N*）．再结合定义，运用等差数列的求和公式，即可得到所求．

解答 解：（1）由数列{a_n}的定义得a₁=1，a₂=-2，a₃=-2，a₄=3，
a₅=3，a₆=3，a₇=-4，a₈=-4，a₉=-4，a₁₀=-4，a₁₁=5，
所以S₁=1，S₂=-1，S₃=-3，S₄=0，S₅=3，S₆=6，S₇=2，
S₈=-2，S₉=-6，S₁₀=-10，S₁₁=-5，
从而S₁=a₁，S₄=0•a₄，S₅=a₅，S₆=2a₆，S₁₁=-a₁₁，
所以集合P₁₁中元素的个数为5；
（2）先证：S_i（2i+1）=-i（2i+1）（i∈N*）．
事实上，①当i=1时，S_i（2i+1）=S₃=-3，-i（2i+1）=-3，故原等式成立；
②假设i=m时成立，即S_m（2m+1）=-m（2m+1），则i=m+1时，
S_{（m+1）（2m+3）}=S_m（2m+1）+（2m+1）²-（2m+2）²=-m（2m+1）-4m-3
=-（2m²+5m+3）=-（m+1）（2m+3）．
综合①②可得S_i（2i+1）=-i（2i+1）．于是S_{（i+1）（2i+1）}=S_i（2i+1）+（2i+1）²
=-i（2i+1）+（2i+1）²=（2i+1）（i+1）．
由上可知S_i（2i+1）是2i+1的倍数，而a_i（2i+1）+j=2i+1（j=1，2，…，2i+1），
所以S_i（2i+1）+j=S_i（2i+1）+j（2i+1）是a_i（2i+1）+j（j=1，2，…，2i+1）的倍数．
又S_{（i+1）（2i+1）}=（i+1）•（2i+1）不是2i+2的倍数，
而a_{（i+1）（2i+1）}+j=-（2i+2）（j=1，2，…，2i+2），
所以S_{（i+1）（2i+1）}+j=S_{（i+1）（2i+1）}-j（2i+2）=（2i+1）（i+1）-j（2i+2）
不是a_{（i+1）（2i+1）}+j（j=1，2，…，2i+2）的倍数，
故当l=i（2i+1）时，集合P_l中元素的个数为1+3+…+（2i-1）=i²，
于是，当l=i（2i+1）+j（1≤j≤2i+1）时，集合P_l中元素的个数为i²+j．
又2000=31×（2×31+1）+47，
故集合P_{2 000}中元素的个数为31²+47=1008．

点评 本题考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识，考查探究能力，以及运用数学归纳法的推理论证能力，有一定的难度．