Question

20．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=3，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$＜0，且△ABC的面积为$\frac{3}{2}$，则∠BAC=150°．

Answer 1

分析 由题意可得∠BAC 为钝角，再由$\frac{1}{2}$×2×3×sin∠BAC=$\frac{3}{2}$，解得sin∠BAC=$\frac{1}{2}$，从而得到∠BAC的值．

解答 解：∵在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=3，且△ABC的面积为$\frac{3}{2}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|•sin∠BAC$=$\frac{3}{2}$，
即$\frac{1}{2}×2×3×sin∠BAC=\frac{3}{2}$，解得sin∠BAC=$\frac{1}{2}$，
又$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$＜0，∴$∠BAC∈（\frac{π}{2}，π）$，
∴∠BAC=150°．
故答案为：150°．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义及三角形的面积公式，考查已知三角函数值求角的大小，是基础题．