Question

3．棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M，N，P分别为AB₁，BC₁，DD₁的中点，给出下列结论：
①异面直线AB₁，BC₁所成的角为$\frac{π}{3}$
②MN∥平面ABCD
③四面体A-A₁B₁N的体积为$\frac{1}{4}$
④MN⊥BP
则正确结论的序号为①②④．

Answer 1

分析 根据正方体的性质，以及异面直线所成的角，得到异面直线AB₁，BC₁所成的角即为AD₁与AB₁所成的角，即可判断①，根据线面平行的判断定理即可判断②，根据正方体的体积为1，${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}N}$=$\frac{1}{4}$${S}_{四边形{A}_{1}DC{B}_{1}}$，即可求出四面体A-A₁B₁N的体积，根据线面垂直得到线线垂直，即可判断④．

解答 解：如图所示
对于①连接AD₁，B₁D₁，则BC₁∥AD₁，则异面直线AB₁，BC₁所成的角即为AD₁与AB₁所成的角，因为AD₁=B₁D₁=AB₁，所以异面直线AB₁，BC₁所成的角为$\frac{π}{3}$，故①正确；
对于②连接B₁C，则交BC₁与N，所以MN是三角形B₁AC的中位线，所以MN∥AC，所以MN∥平面ABCD，故②正确；
对于③，连接A₁D，AN，A₁N，因为确；${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}N}$=$\frac{1}{4}$${S}_{四边形{A}_{1}DC{B}_{1}}$，所以四面体A-A₁B₁N的体积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}$×1=$\frac{1}{8}$；故③错误；
对于④，连接BO，因为AC⊥平面BB₁D₁D，所以MN⊥平面BB₁D₁D，又因为BP?平面BB₁D₁D，所以MN⊥BP
故④正确．
故答案为：①②④

点评 本题给出正方体模型，判断关于异面直线所成角的几个命题的真假性，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．