Question

5．如图，在正方体ABCD一A₁B₁C₁D₁中，AB=3，CE=2EC₁．
（Ⅰ）若F是AB的中点，求证：C₁F∥平面BDE；
（Ⅱ）求三棱锥D-BEB₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接CF，交BD于点M，连接ME，证明EM∥C₁F，即可证明C₁F∥平面BDE；
（Ⅱ）三棱锥D-BEB₁的体积=$\frac{1}{3}×{S}_{△BE{B}_{1}}×DC$，可得结论．

解答 （Ⅰ）证明：连接CF，交BD于点M，连接ME，则△BMF∽△DMC．
∵F是AB的中点，
∴$\frac{MF}{MC}=\frac{BF}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
∵CE=2EC₁，
∴△CFC₁中，$\frac{MF}{MC}$=$\frac{E{C}_{1}}{EC}$，
∴EM∥C₁F，
∵EM?平面BDE，C₁F?平面BDE
∴C₁F∥平面BDE；
（Ⅱ）解：三棱锥D-BEB₁的体积=$\frac{1}{3}×{S}_{△BE{B}_{1}}×DC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×3×3$=$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查三棱锥的体积的计算，正确运用线面平行的判定定理是关键．