Question

8．如图，F是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦点，椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$．A，B为椭圆的左顶点和上顶点，点C在x轴上，BC⊥BF，△BCF的外接圆M恰好与直线l₁：x+$\sqrt{3}$y+3=0相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点C的直线l₂与已知椭圆交于P，Q两点，且$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$=4，求直线l₂的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过e=$\frac{1}{2}$，可得c、b均能用a来表示，在Rt△BFO中，利用tan∠BFO=$\frac{|OB|}{|OF|}$可得圆M的圆心坐标及半径，通过圆心M到直线l₁的距离等于r，计算即可；
（Ⅱ）设直线l₂的方程方程为y=k（x-3），并与椭圆方程联立，利用韦达定理及$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$=4，计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴c=$\frac{1}{2}$a，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
又F（-c，0），B（0，b），
∴在Rt△BFO中，tan∠BFO=$\frac{|OB|}{|OF|}$=$\frac{b}{c}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BFO=$\frac{π}{3}$，|BF|=a．
∵BC⊥BF，∴∠BCF=$\frac{π}{6}$，∴|CF|=2a．
∴△BCF的外接圆M的圆心坐标为：M（$\frac{a}{2}$，0），半径r=a，
又圆M与直线l₁：x+$\sqrt{3}$y+3=0相切，
∴圆心M到直线l₁：x+$\sqrt{3}$y+3=0的距离等于r，即$\frac{|\frac{a}{2}+0+3|}{2}$=a，
又a＞0，∴a=2，∴b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）由（I）知F（-1，0），C（3，0），
设直线l₂的斜率为k，则直线l₂的方程方程为y=k（x-3），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-3）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y得：（3+4k²）x²-24k²x+36k²-12=0，
由韦达定理可得：x_P+x_Q=$\frac{24{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x_Px_Q=$\frac{36{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴y_Py_Q=k²（x_P-3）（x_Q-3）=k²x_Px_Q-3k²（x_P+x_Q）+9k²，
则$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$=（1+x_P，y_P）•（1+x_Q，y_Q）
=1+x_P+x_Q+x_Px_Q+y_Py_Q
=1+9k²+（1-3k²）（x_P+x_Q）+（1+k²）x_Px_Q
=1+9k²+（1-3k²）$\frac{24{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+（1+k²）$\frac{36{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$
=$\frac{79{k}^{2}-9}{3+4{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$=4，∴$\frac{79{k}^{2}-9}{3+4{k}^{2}}$=4，解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线l₂的方程为：y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3）．

点评 本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用，注意解题方法的积累，属于中档题．