Question

5．已知点P（x₀，y₀）为椭圆4x²+y²=1上一动点，过点P作圆x²+y²=$\frac{1}{3}$的切线l，过坐标原点O作OP的垂线交直线l于点S．
（1）求x₀的取值范围；
（2）求点S的轨迹所在的曲线方程；
（3）求|PS|的最小值及此时△OPS的面积．

Answer 1

分析 （1）通过联立$\left\{\begin{array}{l}{4{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=1}\\{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}＞\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，计算即可；
（2）设S（x，y），通过P（x₀，y₀）在椭圆4x²+y²=1上、OP⊥OS及三角形面积的不同计算方法可得$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=3，分y≠0、y=0两种情况讨论即可；
（3）利用$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=3及基本不等式计算即可．

解答 解：（1）依题意得，满足条件的x₀满足$\left\{\begin{array}{l}{4{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=1}\\{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}＞\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
即$3{{x}_{0}}^{2}+3（1-4{{x}_{0}}^{2}）＞1$，∴-$\frac{\sqrt{2}}{3}$＜x₀＜$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
 故x₀的取值范围是（-$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{3}$）；
（2）设S（x，y），
∵P（x₀，y₀）在椭圆4x²+y²=1上，
∴4x₀²+y₀²=1                         ①
∵OP⊥OS，∴x₀x+y₀y=0                ②
在Rt△OPS中，斜边PS上的高等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴|OP|•|OS|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$|PS|，
∴$\frac{|OP{|}^{2}•|OS{|}^{2}}{|OP{|}^{2}+|OS{|}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OS{|}^{2}}$=3，
∴$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=3                 ③
（ⅰ）当y≠0时，由②得y₀=-$\frac{{x}_{0}x}{y}$代入①得${{x}_{0}}^{2}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}+4{y}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{1}{1-3{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{3{y}^{2}}{{x}^{2}+4{y}^{2}}}$=$\frac{{x}^{2}+4{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
代入③得：$\frac{{x}^{2}+4{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=3，
化简得：2x²-y²=1；
（ⅱ）当y=0时，代入②得x₀x=0，显然此时x≠0，
否则切线l过原点，不成立，即x₀=0，此时${{y}_{0}}^{2}$=1，
代入③得：2x²=1，即此时2x²-y²=1也成立．
综上所述，点S的轨迹所在的曲线方程为：2x²-y²=1；
（3）由（2）知：$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=3，
又|PS|²=（x₀²+y₀²）+（x²+y²）
=[（x₀²+y₀²）+（x²+y²）]$•\frac{1}{3}•$（$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}$）
=$\frac{1}{3}$（$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$+$\frac{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$+2）$≥\frac{4}{3}$，
从而|PS|≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
当且仅当x₀²+y₀²=x²+y²=$\frac{2}{3}$时取等号，
∴|PS|的最小值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，此时S_△OPS=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．