Question

15．如图在以OA为半径的半圆M中，有三个半径为1的相同的半圆，在半圆M中任取一点N．
（1）求点N位于区域E的概率；
（2）求点N位于区域F的概率．

Answer 1

分析 由题意求出区域E、F及半圆M的面积．
（1）由区域E的面积除以半圆M的面积得答案；
（2）由区域F的面积除以半圆M的面积得答案．

解答 解：如图，

以MO₁P为圆心角的扇形的面积为$\frac{1}{2}×\frac{π}{3}×1×1=\frac{π}{6}$，
等边三角形O₁MP的面积为$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴以MO₁P为圆心角的小弓形的面积为$\frac{π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴区域E的面积为$\frac{π}{2}-\frac{π}{6}-\frac{π}{6}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{π}{6}+\frac{\sqrt{3}}{4}$．
区域F的面积为2π$-\frac{π}{2}-\frac{π}{2}$$-\frac{π}{6}+2（\frac{π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}）$=$\frac{7π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
半圆M的面积为2π．
（1）点N位于区域E的概率为$\frac{\frac{π}{6}+\frac{\sqrt{3}}{4}}{2π}=\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{3}}{8π}$；
（2）点N位于区域F的概率为$\frac{\frac{7π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2π}=\frac{7}{12}-\frac{\sqrt{3}}{4π}$．

点评 本题考查了几何概型，考查了扇形面积公式的应用，是中低档题．