Question

3．如图所示，已知正六边形ABCDEF的边长为2，O为它的中心，将它沿对角线FC折叠，使平面ABCF⊥平面FCDE，点G是边AB的中点．

（Ⅰ）证明：DC∥平面EGO；
（Ⅱ）证明：平面BFD⊥平面EGO；
（Ⅲ）求多面体EFGBCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圆平面图形得到OC∥ED，OC=ED，从而证得四边形OCDE是平行四边形，得到DC∥EO，然后由线面平行的判定定理得答案；
（Ⅱ）由正六边形的性质及G是边AB的中点，得到OE⊥FD，再由面面垂直的判定及性质得到OG⊥DF．由线面垂直的判定得DF⊥平面EGO，再由面面垂直的判定得答案；
（Ⅲ）把多面体EFGBCD的体积色体积转化为V_B-CDEF+V_B-FEG，求出两个棱锥的体积得答案．

解答 （Ⅰ）证明：在正六边形ABCDEF中，OC∥ED，OC=ED，
∴四边形OCDE是平行四边形．
∴DC∥EO．
∵OE?平面OEG，CD?平面OEG，
∴CD∥平面OEG；
（Ⅱ）证明：∵O是正六边形ABCDEF的中心，G是边AB的中点，
∴OE⊥FD，OG⊥AB．
∵平面ABCF⊥平面FCDE，平面ABCF∩平面FCDE=FC，GO?平面ABCF，
∴GO⊥平面FCDE．
∵DF?平面FCDE，
∴GO⊥DF．
∵EO?平面EOG，GO?平面EOG，EO∩GO=O，
∴DF⊥平面EGO．
∵DF?平面DFB，
∴平面BFD⊥平面EGO；
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知GO⊥平面FCDE．
∴V_EFGBCD=V_B-CDEF+V_B-FEG
=${V}_{B-CDEF}+\frac{1}{2}{V}_{G-FEO}$
=$\frac{1}{3}{S}_{△CDEF}•GO+\frac{1}{6}{S}_{△FEO}•GO$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（2+4）×\sqrt{3}×\sqrt{3}$$+\frac{1}{6}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=$\frac{7}{2}$．

点评 本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．