Question

12．已知三棱锥S-ABC中△SAB与△ABC均为等边三角形，M、N分别为AC、SB的中点，经过M、N且与AB平行的平面α与BC交于点D．
（1）求证：SC∥面MND；
（2）证明：SC⊥MD．

Answer 1

分析 （1）由条件利用直线和平面平行的性质可得AB∥MD，D为BC的中点，可得SC∥ND，再利用直线和平面平行的判定定理证得SC∥面MND．
（2）取AB的中点为O，根据AB⊥SO，AB⊥CO，证明AB⊥平面SOC，可得AB⊥SC，从而证得MD⊥SC．

解答 （1）证明：∵M、N分别为AC、SB的中点，经过M、N且与AB平行的平面α与BC交于点D，
故AB∥MD，∴D为BC的中点，故NC为△SBC的中位线，∴SC∥ND．
而ND?面MND，∴SC∥面MND．
（2）证明：取AB的中点为O，则由△SAB与△ABC均为等边三角形，可得AB⊥SO，AB⊥CO．
而SO∩CO=O，∴AB⊥平面SOC，∴AB⊥SC，∴MD⊥SC．

点评 本题主要考查直线和平面平行的性质定理和判定定理，直线和平面垂直判定定理的应用，属于基础题．