Question

19．如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=$\sqrt{3}a$，E为BC中点．
（1）求证：平面PBC⊥平面PDE；
（2）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接BD，便可得到BD=DC，而E又是BC中点，从而得到BC⊥DE，而由PD⊥平面ABCD便可得到BC⊥PD，从而得出BC⊥平面PDE，根据面面垂直的判定定理即可得出平面PBC⊥平面PDE；
（2）连接AC，交BD于O，根据相似三角形的比例关系即可得到AO=$\frac{1}{2}OC$，从而在PC上找F，使得PF=$\frac{1}{2}FC$，连接OF，从而可说明PA∥平面BDF，这样即找到了满足条件的F点．

解答 解：（1）证明：连结BD，∠BAD=90°，$AB=a，DA=\sqrt{3}a$；

∴BD=DC=2a，E为BC中点，∴BC⊥DE；
又PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD；
∴BC⊥PD，DE∩PD=D；
∴BC⊥平面PDE；
∵BC?平面PBC；
∴平面PBC⊥平面PDE；
（2）如上图，连结AC，交BD于O点，则：△AOB∽△COD；
∵DC=2AB；
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{AO}{OC}=\frac{1}{2}$；
∴$AO=\frac{1}{2}OC$；
∴在PC上取F，使$PF=\frac{1}{2}FC$；
连接OF，则OF∥PA，而OF?平面BDF，PA?平面BDF；
∴PA∥平面BDF．

点评 考查直角三角形边的关系，等腰三角形中线也是高线，以及线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，相似三角形边的比例关系，线面平行的判定定理．