Question

14．已知点p（c，$\frac{3}{2}$c）在以F（c，0）为右焦点的椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，斜率为1的直线m过点F与椭圆Γ交于A，B两点，且与直线l：x=4c交于点M．
（Ⅰ） 求椭圆Γ的离心率e；
（Ⅱ） 试判断直线PA，PM，PB的斜率是否成等差数列？若成等差数列，给出证明；若不成等差数列，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把点P的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件化为关于e的方程，则椭圆的离心率可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的椭圆的离心率，把a，b用含有c的代数式表示，求出直线m的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到k₁+k₃，并求得k₂的值，由k₁+k₃=k₂说明直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．

解答 解：（Ⅰ）∵点p（c，$\frac{3}{2}$c）在椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{9{c}^{2}}{4{b}^{2}}=1$．
整理得，4a⁴-17a²c²+4c⁴=0，即4e⁴-17e²+4=0，
解得$e=\frac{1}{2}$或e=2 （舍），
∴离心率$e=\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，证明如下：
由（Ⅰ）知，$a=2c，b=\sqrt{3}c$，∴椭圆E：3x²+4y²=12c²，
直线m的方程为y=x-c．
代入椭圆方程并整理，得7x²-8cx-8c²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线PA，PM，PB的斜率分别为k₁，k₂，k₃，
则有${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8c}{7}，{x}_{1}•{x}_{2}=-\frac{8{c}^{2}}{7}$．
可知M的坐标为（4c，3c）．
∴${k}_{1}+{k}_{3}=\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}c}{{x}_{1}-c}+\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}c}{{x}_{2}-c}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-\frac{7}{2}c（{x}_{1}+{x}_{2}）+5{c}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}-c（{x}_{1}+{x}_{2}）+{c}^{2}}=1$，
$2{k}_{2}=\frac{2（\frac{3}{2}c-3c）}{c-4c}=1$，
∴k₁+k₃=2k₂．
故直线PA，PM，PB的斜率成等差数列．

点评 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，该题是中档题．