Question

8．如图，已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，A，B分别是C的上下顶点，点B在直线l：y=-1上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴于Q点，M为线段PQ中点，直线AM交直线l于点D，N为线段BD的中点，求证：MN⊥OM．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆的定义与几何性质，求出a、b的值即可；
（Ⅱ）设出点P的坐标，得出Q、M与N的坐标，表示出$\overrightarrow{MN}$、$\overrightarrow{OM}$，利用平面向量的数量积判断$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{OM}$即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意，得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，
因为a²-c²=b²，
所以a²=4，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；…（4分）
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）（x₀≠0），则Q（0，y₀），
$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+${{y}_{0}}^{2}$=1；
因为M为线段PQ的中点，所以M（$\frac{{x}_{0}}{2}$，y₀），
又A（0，1），所以直线AM的方程为y=$\frac{2{（y}_{0}-1）}{{x}_{0}}$x+1，
令y=-1，得D（$\frac{{x}_{0}}{1{-y}_{0}}$，-1），
又B（0，-1），N为线段BD的中点，所以N（$\frac{{x}_{0}}{2（1{-y}_{0}）}$，-1），
所以$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{{x}_{0}}{2（1{-y}_{0}）}$-$\frac{{x}_{0}}{2}$，-1-y₀），
所以$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{OM}$=$\frac{{x}_{0}}{2}$（$\frac{{x}_{0}}{2（1{-y}_{0}）}$-$\frac{{x}_{0}}{2}$）+y₀（-1-y₀）
=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$•$\frac{1}{1{-y}_{0}}$-y₀-（$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+${{y}_{0}}^{2}$）
=（1-${{y}_{0}}^{2}$）•$\frac{1}{1{-y}_{0}}$-y₀-1
=0，
所以$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{OM}$，
即MN⊥OM．…（12分）

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了椭圆的定义与几何性质的应用问题，考查了直线与椭圆的综合应用问题，是综合性题目．