Question

15．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=log_n（n+1）（n≥2，n∈N^*）．定义：使乘积a₁•a₂•a₃…a_n为正整数的k（k∈N⁺）叫做“幸运数”，则在[1，2015]内所有“幸运数”的和为（　　）

• A． 2035
• B． 2036
• C． 4084
• D． 4085

Answer 1

分析 先利用换底公式与叠乘法把a₁•a₂•a₃•…•a_k化为log₂（k+1），然后根据a₁•a₂•a₃•…•a_k为整数可得k=2ⁿ-1，最后由等比数列前n项和公式解决问题．

解答 解：∵a_n=log_n（n+1）=$\frac{lo{g}_{2}（n+1）}{lo{g}_{2}n}$，（n≥2，n∈N^*），
∴a₁•a₂•a₃•…•a_k=$\frac{lo{g}_{2}3}{lo{g}_{2}2}$×$\frac{lo{g}_{2}4}{lo{g}_{2}3}$×…×$\frac{lo{g}_{2}（k+1）}{lo{g}_{2}k}$=log₂（k+1），
又∵a₁•a₂•a₃•…•a_k为整数，
∴k+1必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-1．
∴k∈[1，2015]内所有的“幸运数”的和
M=（2²-1）+（2³-1）+（2⁴-1）+…+（2¹⁰-1）
=$\frac{4（1-{2}^{9}）}{1-2}$-1×9
=2035，
故选：A．

点评 本题在理解新定义的基础上，考查换底公式、叠乘法及等比数列前n项和公式，其综合性、技巧性较强，注意解题方法的积累，属于中档题．