Question

10．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{15}{8}n$+$\frac{3}{8}{n}^{2}$，{b_n}为等差数列，且a₁=b₁与a₂=a₁（b₂-b₁），求{b_n}的通项b_n及其前12项的和 T₁₂．

Answer 1

分析 利用数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{15}{8}n$+$\frac{3}{8}{n}^{2}$，计算可得b₁=a₁、d=b₂-b₁=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$，计算即得结论．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{15}{8}n$+$\frac{3}{8}{n}^{2}$，
∴b₁=a₁=$\frac{15}{8}$+$\frac{3}{8}$=$\frac{9}{4}$，
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{{S}_{2}-{S}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{\frac{15}{8}×2+\frac{3}{8}×4-\frac{15}{8}-\frac{3}{8}}{\frac{15}{8}+\frac{3}{8}}$=$\frac{4}{3}$，
∴数列{b_n}的公差d=b₂-b₁=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{3}$，
即数列{b_n}是以$\frac{9}{4}$为首项、$\frac{4}{3}$为公差的等差数列，
从而b_n=$\frac{9}{4}$+$\frac{4}{3}$（n-1）=$\frac{4}{3}$n+$\frac{11}{12}$，
T_n=$n•{b}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}•d$=$\frac{9}{4}n$+$\frac{4}{3}•\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{2}{3}{n}^{2}+\frac{19}{12}n$，
∴T₁₂=$\frac{2}{3}×1{2}^{2}$+$\frac{19}{12}×12$=115，
故{b_n}的通项b_n=$\frac{4}{3}$n+$\frac{11}{12}$，其前12项的和T₁₂=115．

点评 本题考查求数列的通项及前12项的和，注意解题方法的积累，属于中档题．