Question

20．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的两焦点分别为F₁，F₂．点D为椭圆E上任意一点，△DF₁F₂面积最大值为1，椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知过点（1，0）的直线l与椭圆E相交于A，B两点，试问：在直线x=2上是否存在点P，使得△PAB是以点P为直角的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标及直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过△DF₁F₂面积最大值为1可得bc=1，利用$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$计算即可得结论；
（2）分直线l的斜率是否为0两种情况讨论，显然当直线l的斜率为0时不存在符合题意的点P；当直线l的斜率不为0时，联立直线l与椭圆方程，利用韦达定理及两点间距离公式可得|AB|的表达式，利用△PAB是以点P为直角的等腰直角三角形可得k_AB•k_PM=-1、$|\overrightarrow{PM}|$=$\frac{1}{2}$$|\overrightarrow{AB}|$，计算即得结论．

解答 解：（1）设D（x₀，y₀），∵|y₀|≤b，∴${S}_{△D{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}×2c×|{y}_{0}|$≤bc=1，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）结论：在直线x=2上是不存在点P，使得△PAB是以点P为直角的等腰直角三角形．
理由如下：
当直线l的斜率为0时，不存在符合题意的点P；
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=1+my，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1+my}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2+m²）y²+2my-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=-$\frac{2m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{2+{m}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$
=$\sqrt{（1+{m}^{2}）（{y}_{2}-{y}_{1}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}•{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{1+{m}^{2}}}{2+{m}^{2}}$
=$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$，
设线段AB的中点为M（x₃，y₃），
则y₃=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{m}{2+{m}^{2}}$，∴x₃=1+my₃=$\frac{2}{2+{m}^{2}}$，
∵△PAB是以点P为直角的等腰直角三角形，
∴AB⊥PM，且$|\overrightarrow{PM}|$=$\frac{1}{2}$$|\overrightarrow{AB}|$，
∴k_AB•k_PM=-1，即$\frac{1}{m}•\frac{{y}_{P}-{y}_{3}}{{x}_{P}-{x}_{3}}$=-1，
∴y_P-y₃=-m（x_P-x₃），
又∵x_P=2，∴y_P-y₃=-m（2-x₃），
∴|PM|=$\sqrt{（{x}_{P}-{x}_{3}）^{2}+（{y}_{P}-{y}_{3}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|2-$\frac{2}{2+{m}^{2}}$|
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\frac{2（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$，
∵$|\overrightarrow{PM}|$=$\frac{1}{2}$$|\overrightarrow{AB}|$，∴$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\frac{2（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$=$\frac{1}{2}×$$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$，
解得：$\sqrt{1+{m}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，这是不可能的，即方程无解，
故在直线x=2上是不存在点P，使得△PAB是以点P为直角的等腰直角三角形．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．