Question

14．在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别是a，b，c，且4cosC•sin²$\frac{C}{2}$+cos2C=0
（1）求∠C的大小；
（2）若函数f（x）=sin（2x-C），求f（x）的单调区别；
（3）若3ab=25-c²，求△ABC面积的最大值并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角公式的变形化简已知的式子，再由内角的范围求出角C的值；
（2）由（1）求出函数f（x），根据正弦函数的单调区间和整体思想求出f（x）的单调区间；
（3）由余弦定理可得c²=a²+b²-ab，代入3ab=25-c²化简后利用基本不等式求出ab的范围，代入三角形的面积公式求出最大值，并判断出三角形的形状．

解答 解：（1）由题意得，4cosC•sin²$\frac{C}{2}$+cos2C=0，∴2cosC（1-cosC）+cos2C=0，
∴2cosC-2cos²C+2cos²C-1=0，则cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）由（1）知，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，$-\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{5π}{12}+kπ（k∈Z）$，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，$\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{11π}{12}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的单调增区间是$[-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ]$，减区间是$[\frac{5π}{12}+kπ，\frac{11π}{12}+kπ]（k∈Z）$；
（3）由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
即c²=a²+b²-ab，
∵3ab=25-c²，∴a²+b²=25-2ab，
则a²+b²=25-2ab≥2ab，解得ab≤$\frac{25}{4}$（当且仅当a=b时取等号），
∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{3}}{4}ab$≤$\frac{25\sqrt{3}}{16}$，
则当a=b时△ABC面积最大，且最大值是$\frac{25\sqrt{3}}{16}$，
此时△ABC是等边三角形．

点评 本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，二倍角公式的变形，正弦函数的单调区间，以及基本不等式求最值，比较综合，属于中档题．