Question

4．已知点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0）．直线AT，BT交于点T，且它们的斜率之积为常数-λ（λ＞0，λ≠1），点T的轨迹以及A，B两点构成曲线C．
（1）求曲线C的方程，并求其焦点坐标；
（2）若0＜λ＜1，且曲线C上的点到其焦点的最小距离为1．设直线l：x=my+1交曲线C于M，N，直线AM，BN交于点P．
（ⅰ）当m=0时，求点P的坐标；（ⅱ）求证：当m变化时，P总在直线x=4上．

Answer 1

分析 （1）设T（x，y），由直线的斜率公式，化简整理讨论即可得到曲线方程；
（2）由于0＜λ＜1，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求得焦点和a-c为最小值，解得λ，进而得到椭圆方程，
（ⅰ）当m=0时，由x=1代入椭圆方程，即可得到P的坐标；（ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$及x=my+1，运用韦达定理和恒成立思想，即可得到定直线x=4．

解答 解：（1）设T（x，y），则$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-λ$，
化简得$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4λ}=1（x≠±2）$，又A，B的坐标（-2，0），（2，0）也符合上式，
故曲线C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4λ}=1（λ＞0，λ≠1）$；
当0＜λ＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，焦点为$（-2\sqrt{1-λ}，0），（2\sqrt{1-λ}，0）$，
当λ＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，焦点为$（0，-2\sqrt{λ-1}），（0，2\sqrt{λ-1}）$；
（2）由于0＜λ＜1，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，其焦点为$（-2\sqrt{1-λ}，0），（2\sqrt{1-λ}，0）$，
椭圆的长轴端点到同侧焦点的距离，是椭圆上的点到焦点的最小距离，
故$2-2\sqrt{1-λ}=1$，∴$λ=\frac{3}{4}$，曲线C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（ⅰ）联立$x=1，\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$解得$M（1，\frac{3}{2}），N（1，-\frac{3}{2}）$或$N（1，\frac{3}{2}），M（1，-\frac{3}{2}）$，
当$M（1，\frac{3}{2}），N（1，-\frac{3}{2}）$时，$AM：y=\frac{1}{2}（x+2），BN：y=\frac{3}{2}（x-2）$，解得P（4，3），
当$N（1，\frac{3}{2}），M（1，-\frac{3}{2}）$时，由对称性知，P（4，-3），
所以点P坐标为（4，3）或（4，-3）；
（ⅱ）以下证明当m变化时，点P总在直线x=4上．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$及x=my+1，
消去x得：（3m²+4）y²+6my-9=0，${y_1}+{y_2}=-\frac{6m}{{3{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=-\frac{9}{{3{m^2}+4}}$，
直线$AM：y=\frac{y_1}{{{x_1}+2}}（x+2），BN：y=\frac{y_2}{{{x_2}-2}}（x-2）$，
消去y得$x=\frac{{2{y_1}（{x_2}-2）+2{y_2}（{x_1}+2）}}{{{y_2}（{x_1}+2）-{y_1}（{x_2}-2）}}=\frac{{4m{y_1}{y_2}-2{y_1}+6{y_2}}}{{{y_1}+3{y_2}}}$，
以下只需证明$\frac{{4m{y_1}{y_2}-2{y_1}+6{y_2}}}{{{y_1}+3{y_2}}}=4?4m{y_1}{y_2}-6（{y_1}+{y_2}）=0$（※） 对于m∈R恒成立．
而$4m{y_1}{y_2}-6（{y_1}+{y_2}）=4m•（-\frac{9}{{3{m^2}+4}}）-6•（-\frac{6m}{{3{m^2}+4}}）=\frac{{-36{m^2}+36{m^2}}}{{3{m^2}+4}}=0$
所以（※）式恒成立，即点P横坐标总是4，点P总在直线x=4上，
故存在直线l'：x=4，使P总在直线l'上．

点评 本题考查曲线方程的求法，主要考查椭圆的性质和方程的运用．联立直线方程运用韦达定理以及恒成立思想的运用，属于中档题．