Question

9．已知函数f（x）=lnx+a|x²-1|（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在（0，$\sqrt{e}$）上的最大值g（a）．

Answer 1

分析 （1）得出当a=1时，f（x）=lnx+|x²-1|=$\left\{\begin{array}{l}{lnx+{x}^{2}-1，x≥1}\\{lnx+1-{x}^{2}，0＜x＜1}\end{array}\right.$分段求解导数判断即可．
（2）去绝对值得出：当a＞0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx+a{x}^{2}-a，x≥1}\\{lnx+a-a{x}^{2}，0＜x＜1}\end{array}\right.$，
利用导数分类讨论得出：当0＜a$≤\frac{1}{2}$时，f（x）在（0，$\sqrt{e}$）上单调递增，f（x）无最大值，
当a$＞\frac{1}{2}$时，f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）上单调递增，（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，1）单调递减，在（1，$\sqrt{e}$）上单调递增，
极大值为f（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$），极小值为f（1）．
比较f（$\sqrt{e}$）＞f（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$），即可判断最值情况．

解答 解：∵f（x）=lnx+a|x²-1|（a∈R）．
∴（1）当a=1时，f（x）=lnx+|x²-1|=$\left\{\begin{array}{l}{lnx+{x}^{2}-1，x≥1}\\{lnx+1-{x}^{2}，0＜x＜1}\end{array}\right.$
∵当x≥1时，f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x＞0，
∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∵当0＜x＜1时，f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x=$\frac{1-2{x}^{2}}{x}$，
1-2x²＞0，0＜x$＜\frac{\sqrt{2}}{2}$
1-2x²＜0，x$＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴函数f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上单调递增，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）上单调递减，
（2）函数f（x）=lnx+a|x²-1|（a∈R）．
当a＞0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx+a{x}^{2}-a，x≥1}\\{lnx+a-a{x}^{2}，0＜x＜1}\end{array}\right.$
①∵当x≥1时，f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax＞0，
∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
②∵当0＜x＜1时，f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax=$\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$，
1-2ax²＞0，0＜x$＜\frac{\sqrt{2a}}{2a}$
1-2ax²＜0，x$＞\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，
∴当0＜a$≤\frac{1}{2}$时，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$≥1，f（x）在（0，1）上单调递增，
当a$＞\frac{1}{2}$时，0＜$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$＜1，f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）上单调递增，（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，1）单调递减，
综上：当0＜a$≤\frac{1}{2}$时，f（x）在（0，$\sqrt{e}$）上单调递增，f（x）无最大值，
当a$＞\frac{1}{2}$时，f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）上单调递增，（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$，1）单调递减，在（1，$\sqrt{e}$）上单调递增，
极大值为f（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$），极小值为f（1）．
f（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）=ln$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$+a|$\frac{1}{2a}$-1|=ln$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$+|$\frac{1}{2}-a$|=ln$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$$+a-\frac{1}{2}$$＜a-\frac{1}{2}$
f（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2}$+a|e-1|=$\frac{1}{2}+ae-a$，
∵$\frac{1}{2}+ae-a$-（a-$\frac{1}{2}$）=ae-2a+1=a（e-2）+1＞0，
∴f（$\sqrt{e}$）＞f（$\frac{\sqrt{2a}}{2a}$）
∴在（0，$\sqrt{e}$）f（x）无最大值，
∴当a＞0时，求函数f（x）在（0，$\sqrt{e}$）上无最大值．

点评 本题综合考查了导数在求解函数单调性，最值中的应用，分类讨论，求解不等式，中和性较大，属于难度较大的题目．