Question

13．已知椭圆x²+2y²=1，过原点的两条直线l₁和l₂分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S．
（1）设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），用A、C的坐标表示点C到直线l₁的距离，并证明S=$\frac{1}{2}|{{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}}$|；
（2）设l₁：y=kx，$C（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$，S=$\frac{1}{3}$，求k的值；
（3）设l₁与l₂的斜率之积为m，求m的值，使得无论l₁和l₂如何变动，面积S保持不变．

Answer 1

分析 （1）依题意，直线l₁的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l₁的距离d=$\frac{|{y}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}{y}_{2}|}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}}$，再利用|AB|=2|AO|=2$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$，可证得S=$\frac{1}{4}$|AB|d=$\frac{1}{2}$|x₁y₂-x₂y₁|；
（2）由（1）得：S=$\frac{1}{2}$|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$|x₁-y₁|=$\frac{1}{3}$，进而得到答案；
（3）方法一：设直线l₁的斜率为k，则直线l₁的方程为y=kx，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\{x}^{2}+2{y}^{2}=1\end{array}\right.$，消去y解得x=±$\frac{1}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，可求得x₁、x₂、y₁、y₂，利用S=$\frac{1}{2}$|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{1}{2}$•$\frac{|m-{k}^{2}|}{\sqrt{（1+2{k}^{2}{）（k}^{2}+2{m}^{2}）}}$，设$\frac{|m-{k}^{2}|}{\sqrt{（1+2{k}^{2}）{（k}^{2}+2{m}^{2}）}}$=c（常数），整理得：k⁴-2mk²+m²=c²[2k⁴+（1+4m²）k²+2m²]，由于左右两边恒成立，可得$\left\{\begin{array}{l}{c}^{2}=\frac{1}{2}\\ m=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，此时S=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
方法二：设直线l₁、l₂的斜率分别为$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$、$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，则$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=m，则mx₁x₂=-y₁y₂，变形整理，利用A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）在椭圆x²+2y²=1上，可求得面积S的值．

解答 解：（1）依题意，直线l₁的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l₁的距离d=$\frac{|\frac{{y}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}}-{y}_{2}|}{\sqrt{1+{（\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}）}^{2}}}$=$\frac{|{y}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}{y}_{2}|}{\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}}$，
因为|AB|=2|AO|=2$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$，所以S=$\frac{1}{4}$|AB|d=$\frac{1}{2}$|x₁y₂-x₂y₁|；
（2）由（1）A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
S=$\frac{1}{2}$|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$|x₁-y₁|=$\frac{1}{3}$．
所以|x₁-y₁|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，由x₁²+2y₁²=1，
解得A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）或（$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，-$\frac{\sqrt{3}}{9}$）
或（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）或（-$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，$\frac{\sqrt{3}}{9}$），
由k=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，得k=-1或-$\frac{1}{5}$；
（3）方法一：设直线l₁的斜率为k，则直线l₂的斜率为$\frac{m}{k}$，直线l₁的方程为y=kx，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\{x}^{2}+2{y}^{2}=1\end{array}\right.$，消去y解得x=±$\frac{1}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
根据对称性，设x₁=$\frac{1}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，则y₁=$\frac{k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
同理可得x₂=$\frac{k}{\sqrt{{k}^{2}+2{m}^{2}}}$，y₂=$\frac{m}{\sqrt{{k}^{2}+2{m}^{2}}}$，
所以S=$\frac{1}{2}$|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{1}{2}$•$\frac{|m-{k}^{2}|}{\sqrt{（1+2{k}^{2}{）（k}^{2}+2{m}^{2}）}}$，设$\frac{|m-{k}^{2}|}{\sqrt{（1+2{k}^{2}）{（k}^{2}+2{m}^{2}）}}$=c（常数），
所以（m-k²）²=c²（1+2k²）（k²+2m²），
整理得：k⁴-2mk²+m²=c²[2k⁴+（1+4m²）k²+2m²]，
由于左右两边恒成立，所以只能是$\left\{\begin{array}{l}2{c}^{2}=1\\{c}^{2}（1+4{m}^{2}）=-2m\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}{c}^{2}=\frac{1}{2}\\ m=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，此时S=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
综上所述，m=-$\frac{1}{2}$，S=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
方法二：设直线l₁、l₂的斜率分别为$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$、$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，则$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=m，
所以mx₁x₂=y₁y₂，
∴m²${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$=${{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}$=mx₁x₂y₁y₂，
∵A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）在椭圆x²+2y²=1上，
∴（${{x}_{1}}^{2}{{+2y}_{1}}^{2}$）（${{x}_{2}}^{2}{{+2y}_{2}}^{2}$）=${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$+4${{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}$+2（${{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}^{2}$）=1，
即（$\frac{1}{m}$+4m）x₁x₂y₁y₂+2（${{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}^{2}$）=1，
所以${{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}^{2}$-2x₁x₂y₁y₂=（x₁y₂-x₂y₁）²=$\frac{1}{2}$[1-（4m+$\frac{1}{m}$）x₁x₂y₁y₂]-2x₁x₂y₁y₂
=$\frac{1}{2}$-（2m+$\frac{1}{2m}$+2）x₁x₂y₁y₂，是常数，所以|x₁y₂-x₂y₁|是常数，
所以令2m+$\frac{1}{2m}$+2=0即可，
所以，m=-$\frac{1}{2}$，S=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
综上所述，m=-$\frac{1}{2}$，S=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．